Ефремов М.А.1, Федоров М.В.2

 

1 Московский государственный инженерно-физический'2 институт

(технический университет)

2 Институт общей физики РАН

 

КЛАССИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ ВЕРСИИ

ЭФФЕКТА КАПИЦЫ-ДИРАКА

 

Рассеяние электронов в поле стоячей электромагнитной волны впервые было рассмотрено Капицей и Дираком [I]. С квантовой точки зрения этот эффект представляет собой вынужденное комптоновское рассеяние, причем частоты излученного w и поглощенного w' фотонов равны, w ' = w, а импульсы k и k' равны по величине и антипараллельны, k' = -k. Согласно [I], индуцированное комптоновское рассеяние электронов на стоячей волне интерпретируется как дифракция де-бройлевской волны электрона на периодической структуре с периодом l/2 (l - длина волны поля излучения), образованной плоскостями равных фаз стоячей волны. Вероятность рассеяния электрона максимальна при условии, что начальный угол скольжения a (угол между направлением начальной скорости электрона v0 и направлением, перпендикулярным k, в плоскости (v0, k)) равен:

a0 = arcsin( l/lDB),

 

где

lDB = hw/mn0c

 

- де-бройлевская длина волны электрона.

     Условие a = a0 понимается как условие Брэгга, а угол a0   - как угол брэгговского рассеяния.

Практически все существующие работы по теории эффекта Капицы-Дирака основаны на использовании полуклассического подхода: квантовомеханически описывается движение электрона в классическом световом поле, причем начальное состояние электрона задается в виде бесконечно протяженной плоской волны. Вместе с тем, вполне оправдана и интересна и другая постановка задачи о рассеянии классического точечного электрона или пучка электронов в классическом поле. Решение такой полностью классической задачи и является целью данной работы. Будет показано, что имеют место сущетвенные различия в результатах классического и квантового описания эффекта Капицы-Дирака.

Как классическая, так и квантовая задачи решаются в низшем порядке теории возмущений по взаимодействию электрона с полем в приближении усредненного Гамильтониана [2], который записывается в виде:

H = r2/2m + 2U0cos(2kz)

 

 где z - координата в направлении k, U0 - пондеромоторный потенциал,

 

U0 = (ee0/2mw)2

 

a  e0- амплитуда напряженности поля.

В результате решения обеих задач находятся средний угол рассеяния q(a) в зависимости от начального угла скольжения электрона a, a также классическая и квантовая функции распределения рассеянных электронов  f(q) . В классической постановке задачи усреднение производится по месту вхождения электронов пучка в стоячую волну z0.

Показано, что как в квантовом, так и в классическом случаях зависимость  q(a)  антисимметрична:

 

q(-a) = - q(a)

 

В обоих случаях функция  q(a)  имеет  максимум  в области отрицательных a. Однако,  положение  и высота максимума существенно различны в классике и в квантовой механике. В квантово-механической картине максимум  q(a) достигается в условиях Брэгговского рассеяния, при a = -a0, и

 

[q(a)]max qm = 2a0(Uot/h)2

 

где  t - длительность взаимодействия.

В отличие от этого в классике функция q(a) имеет максимум при  a = - (c/n0)(1/wt)  и

 

[q(a)]max cl   ~ 2 (c/n0)(Uo/ mc2)2(wt)3

 

Не менее интересны и значительны различия между классической и квантовой функциями распределения f(q)  .

Естественно предположить, что классическая картина эффекта Капицы-Дирака может быть получена и из квантового описания, если только задавать начальную волновую функцию электрона в виде достаточно локализованного волнового пакета [З]. Более того, детальное экспериментальное исследование эффекта Капицы-Дирака может служить источником информации о степени локализации волновой функции электрона.

 

Литература

 

1.        P.L. Kapitza, P.A.M. Dirac, Proc. Cambr. Phil. Soc., 29, 297 (1933). 1. М.В.

2.        М.В.Федоров, ЖЭТФ, 52, 1434(1967).           

3.        M.V. Fedorovetal.,Phys. Rev. E, 55, 1015 (1997).